Para celebrar las matemáticas en el nuevo milenio, el Clay Mathematics Institute de Cambridge, Massachusetts (CMI) estableció siete Prize Problems. Los Premios fueron concebidos para registrar algunos de los problemas más difíciles con los que los matemáticos estaban lidiando en el cambio de milenio; elevar en la conciencia del público en general el hecho de que en las matemáticas, la frontera todavía está abierta y abunda en importantes problemas no resueltos; enfatizar la importancia de trabajar hacia una solución de los problemas más profundos y difíciles; y para reconocer logros en matemáticas de magnitud histórica.

Los premios fueron anunciados en una reunión en París, celebrada el 24 de mayo de 2000 en el Collège de France. Se presentaron tres conferencias: Timothy Gowers habló sobre La Importancia de las Matemáticas; Michael Atiyah y John Tate hablaron sobre los problemas ellos mismos.

Los siete problemas del Premio del Milenio fueron elegidos por la Junta Científica Asesora fundadora de CMI, que se entrevistó con destacados expertos de todo el mundo. El enfoque de la junta fue sobre cuestiones clásicas importantes que han resistido la solución durante muchos años.

Tras la decisión de la Junta Asesora Científica, la Junta Directiva de CMI designó un fondo de premios de $ 7 millones para las soluciones a estos problemas, con $ 1 millón asignado a la solución de cada problema.

Es de notar que uno de los siete problemas del Premio del Milenio, la hipótesis de Riemann, formulada en 1859, también aparece en la lista de veintitrés problemas discutidos en el discurso dado en París por David Hilbert el 9 de agosto de 1900.

Las reglas para la adjudicación del premio tienen el respaldo del Consejo Asesor Científico de CMI y la aprobación de los Directores. Los miembros de estas juntas tienen la responsabilidad de preservar la naturaleza, la integridad y el espíritu de este premio.
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Yang-Mills y Mass Gap

Experimento y simulaciones de computadora sugieren la existencia de una “brecha masiva” en la solución a las versiones cuánticas de las ecuaciones de Yang-Mills. Pero no se conoce ninguna prueba de esta propiedad.
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Hipótesis de Riemann

El teorema del número primo determina la distribución promedio de los números primos. La hipótesis de Riemann nos dice acerca de la desviación del promedio. Formulado en el documento de 1859 de Riemann, afirma que todos los ceros “no obvios” de la función zeta son números complejos con la parte real 1/2.
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P vs NP problema

Si es fácil comprobar que una solución a un problema es correcta, ¿también es fácil resolver el problema? Esta es la esencia de la pregunta P vs NP. Típico de los problemas de NP es el problema de la ruta de Hamilton: dadas N ciudades para visitar, ¿cómo se puede hacer esto sin visitar una ciudad dos veces? Si me das una solución, puedo verificar fácilmente que sea correcta. Pero no puedo encontrar una solución tan fácilmente.
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Ecuación de Navier-Stokes

Esta es la ecuación que rige el flujo de fluidos como el agua y el aire. Sin embargo, no hay pruebas para las preguntas más básicas que uno puede hacer: ¿existen soluciones y son únicas? ¿Por qué pedir una prueba? Porque una prueba no solo da certeza, sino también comprensión.
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Conjetura de Hodge

La respuesta a esta conjetura determina qué parte de la topología del conjunto de soluciones de un sistema de ecuaciones algebraicas se puede definir en términos de ecuaciones algebraicas adicionales. La conjetura de Hodge es conocida en ciertos casos especiales, por ejemplo, cuando el conjunto de soluciones tiene una dimensión menor a cuatro. Pero en la dimensión cuatro es desconocido.
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Conjetura de Poincaré

En 1904, el matemático francés Henri Poincaré preguntó si la esfera tridimensional se caracterizaba por ser la única múltiple conectada de forma simple. Esta pregunta, la conjetura de Poincaré, era un caso especial de la conjetura de geometrización de Thurston. La prueba de Perelman nos dice que cada tres colectores se construye a partir de un conjunto de piezas estándar, cada una con una de las ocho geometrías bien entendidas.
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Conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer

Con el apoyo de mucha evidencia experimental, esta conjetura relaciona el número de puntos en una curva elíptica mod p con el rango del grupo de puntos racionales. Las curvas elípticas, definidas por ecuaciones cúbicas en dos variables, son objetos matemáticos fundamentales que surgen en muchas áreas: la prueba de Wiles de la Conjetura de Fermat, la factorización de números en primos y la criptografía, por nombrar tres.

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Reglas para los Premios del Milenio

El Clay Mathematics Institute (CMI) ha nombrado siete “Problemas del Premio del Milenio”. El Consejo Asesor Científico de CMI (SAB) seleccionó estos problemas, centrándose en cuestiones clásicas importantes que se han resistido a la solución a lo largo de los años. La Junta Directiva de CMI designó un fondo de premios de $ 7 millones para las soluciones a estos problemas, con $ 1 millón asignado a cada uno. Los Directores de CMI, y ninguna otra persona u organismo, tienen la autoridad de autorizar el pago de este fondo o modificar o interpretar estas estipulaciones. El Consejo de Administración de CMI toma todas las decisiones matemáticas para CMI, por recomendación de su SAB.

El SAB de CMI considerará una solución propuesta para un problema del Premio del Milenio si es una solución matemática completa para uno de los problemas. (En caso de que alguien descubra un contraejemplo matemático, en lugar de una prueba, la pregunta se considerará por separado, tal como se describe a continuación). Una solución propuesta para uno de los Problemas del Premio Milenio no se puede enviar directamente a CMI para su consideración.

Antes de su consideración, una solución propuesta debe publicarse en una publicación de referencia de matemáticas de renombre mundial (o en cualquier otra forma que el SAB determine que califica), y también debe tener aceptación general en la comunidad de matemática dos años después. Después de este período de espera de dos años, el SAB decidirá si una solución merece consideración detallada. En el caso afirmativo, el SAB constituirá un comité asesor especial, que incluirá (a) al menos un miembro del SAB y (b) al menos dos miembros no SAB que sean expertos en el área del problema. El SAB buscará asesoramiento para determinar posibles miembros no SAB que sean expertos matemáticos reconocidos internacionalmente en el área del problema. Como parte de este procedimiento, cada uno de los componentes de una solución propuesta bajo consideración será verificado por uno o más miembros de este comité asesor especial.

El comité asesor especial informará dentro de un tiempo razonable al SAB. Con base en este informe y posible investigación adicional, el SAB hará una recomendación a los Directores. El SAB puede recomendar la concesión de un premio a una persona. El SAB puede recomendar que un premio en particular se divida entre múltiples solucionadores de un problema o sus herederos. El SAB prestará especial atención a la cuestión de si una solución de premio depende crucialmente de los conocimientos publicados antes de la solución en cuestión. El SAB puede (pero no es necesario) recomendar el reconocimiento de dicho trabajo previo en la cita del premio, y puede (pero no es necesario) recomendar la inclusión del autor del trabajo previo en el premio.

Si el SAB no puede tomar una decisión clara sobre la corrección de una solución a un problema, su atribución o la idoneidad de un premio, el SAB puede recomendar que no se otorgue ningún premio por un problema en particular. Si sale a la luz nueva información, el SAB puede (pero no necesariamente) reconsiderar una decisión negativa de recomendar un premio para una solución propuesta, pero solo después de un período adicional de espera de dos años después del momento en que la nueva información salga a la luz. El SAB tiene la autoridad exclusiva de hacer recomendaciones a los Directores del CMI sobre la idoneidad de cualquier premio y la validez de cualquier reclamo al Premio Millennium de CMI.

En el caso del problema P versus NP y el problema de Navier-Stokes, el SAB considerará la concesión del Premio del Milenio para decidir la cuestión en cualquier dirección. En el caso de los otros problemas si se propone un contraejemplo, el SAB considerará este contraejemplo después de la publicación y se aplicará el mismo período de espera de dos años que para una solución propuesta. Si, en opinión del SAB, el contraejemplo efectivamente resuelve el problema, entonces el SAB puede recomendar la concesión del Premio. Si el contraejemplo muestra que el problema original sobrevive después de la reformulación o eliminación de algún caso especial, entonces el SAB puede recomendar que se otorgue un pequeño premio al autor. El dinero para este premio no se tomará del fondo del Problema del Premio del Milenio, sino de otros fondos de CMI.

Cualquier persona que no sea una persona descalificada (tal como se define dicho término en la sección 4946 del Código de Rentas Internas) en relación con el Instituto, o un miembro en servicio de la Junta Administrativa de la República de China, puede recibir el Premio Milenio.

Todos los procedimientos de toma de decisiones relativos a los problemas del Premio Milenio de CMI son privados. Esto incluye las deliberaciones o recomendaciones de cualquier persona o personas que CMI haya utilizado para obtener asesoramiento sobre esta cuestión. Ningún registro de estas deliberaciones o correspondencia relacionada puede hacerse público sin la aprobación previa de los Directores, el SAB y todas las otras personas vivas involucradas, a menos que hayan transcurrido cincuenta años después del evento en cuestión.

A pesar de la redacción de las descripciones de los problemas, el SAB no considerará recomendar la concesión de un premio a ninguna persona que, a juicio de SAB, haya realizado una contribución personal importante para comprender el campo del problema en su solución publicada ; ni investigará en detalle las soluciones que no representan un avance importante en el campo. Por el contrario, el SAB puede considerar recomendar la concesión del premio a un individuo que haya publicado un trabajo que, a juicio del SAB, resuelva completamente las cuestiones planteadas por uno de los problemas del Premio Milenio, incluso si no cumple exactamente con la redacción de la descripción oficial del problema

Envíe sus consultas sobre los Problemas del Premio del Milenio a admin@claymath.org.

Revisión del 25 de septiembre de 2012